Question

已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为

3

3

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线x²=4y上的两个动点，且满足

AF

=λ

FB

 (λ＞0)，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断

FM

•

AB

是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求椭圆方程，只需找到含a，b，c的3个等式即可，因为椭圆中心在原点，焦点在y轴上，可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由离心率为

3

3

，可得

c

a

=

3

3

，由以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切可得b=

2

1+1

=

2

，再由a²=b²+c²，可求出a，b，c，进而求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）先设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

AF

=λ

FB

，得A，B坐标关系，再利用导数求过A，B 点的切线方程，联立求交点M坐标，计算

FM

•

AB

的值，如能求出，则存在，如不能求出，则不存在．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．（1分）
因为e=

3

3

，得

b2

a2

=

2

3

．又b=

2

1+1

=

2

，则b²=2，a²=3．
故椭圆的标准方程是

y2

3

+

x2

2

=1．
（Ⅱ）由椭圆方程知，c=1，所以焦点F（0，1），设点
由

AF

=λ

FB

，得（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），所以-x₁=λx₂，1-y₁=λ（y₂-1）．
于是x₁²=λ²x₂²．因为x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，则y₁=λ²y₂．
联立y₁=λ²y₂和1-y₁=λ（y₂-1），得y₁=λ，y₂=

1

λ

．
因为抛物线方程为y=

1

4

x²，求导得y′=

1

2

x．设过抛物线上的点A、B的切线分别为l₁，l₂，则
直线l₁的方程是y=

1

2

x₁（x-x₁）+y₁，即y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²．
直线l₂的方程是y=

1

2

x₂（x-x₂）+y₂，即y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²．
联立l₁和l₂的方程解得交点M的坐标为(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
因为x₁x₂=-λx₂²=-4λy₂=-4．所以点M(

x1+x2

2

，-1)．
于是

FM

=(

x1+x2

2

，-2)，

AB

=（x₂-x₁，y₂-y₁）．
所以

FM

•

AB

=

x 2 2 - x 2 1

2

-2(y2-y1)=

1

2

（x₂²-x₁²）-2（

1

4

x₂²-

1

4

x₁²）=0．
故

F2M

•

AB

为定值0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，以及直线与椭圆关系的判断，题型有代表性，认真解答．