Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过△ABC的两个顶点A，B，且一个焦点为C，另一个焦点D在线段AB上，若|AB|=8，|AC|=6，|BC|=10，直线y=x+m（m为常数）与椭圆交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁x₂的最小值为-12．

Answer 1

分析 设出椭圆的焦点为C（-c，0），D（c，0），由椭圆的定义可得4a=24，再由直角三角形ADC中，求得CD的长，可得c，进而得到椭圆方程，将直线y=x+m代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，即可得到最小值．

解答 解：设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两个焦点为C（-c，0），D（c，0），
由椭圆的定义可得|AB|+|AC|+|BC|=4a=24，
解得a=6，由|AC|+|AD|=2a=12，可得|AD|=6，
则直角三角形ADC中，|CD|=6$\sqrt{2}$，
即有c=3$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{18}$=1，
联立直线y=x+m，可得3x²+4mx+2m²-36=0，
由判别式△=16m²-12（2m²-36）＞0，解得-3$\sqrt{6}$＜m＜3$\sqrt{6}$，
且x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-36}{3}$，当m=0时，取得最小值-12．
故答案为：-12．

点评 本题考查椭圆的定义和方程的运用，考查直线方程和椭圆方程的联立，运用韦达定理和判别式大于0，是解题的关键．