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    已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，tanA=
    		2
    2
    ，若
    cosB
    sinC
    AB
    +
    cosC
    sinB
    AC
    =2m
    AO
    ，则m=
     
    ．
    分析：如图所示，取AB的中点D，连接OA，OD，由三角形外接圆的性质可得OD⊥AB，于是
    DO
    •
    AB
    =0．由向量的三角形法则可得
    AO
    =
    AD
    +
    DO
    ，代入已知
    cosB
    sinC
    AB
    +
    cosC
    sinB
    AC
    =2m(
    AD
    +
    DO
    )    ，两边与
    AB
    作数量积得到
    cosB
    sinC
    AB
    2    +
    cosC
    sinB
    AC
    •
    AB
    =2m
    AD
    •
    AB
    +2m
    DO
    •
    AB
    ，再利用正弦定理化简可得cosB+cosCcosA=msinC，
    再利用两角和差的余弦公式和三角函数的基本关系式即可得到m．
    解答：解：如图所示，取AB的中点D，连接OA，OD，精英家教网
    由三角形外接圆的性质可得OD⊥AB，∴
    DO
    •
    AB
    =0．
    ∵
    AO
    =
    AD
    +
    DO
    ，代入已知
    cosB
    sinC
    AB
    +
    cosC
    sinB
    AC
    =2m
    AO
    =2m(
    AD
    +
    DO
    )    ，
    两边与
    AB
    作数量积得到
    cosB
    sinC
    AB
    2    +
    cosC
    sinB
    AC
    •
    AB
    =2m
    AD
    •
    AB
    +2m
    DO
    •
    AB
    ，
    ∴
    cosB
    sinC
    c2+
    cosC
    sinB
    •bccosA    =2m•
    1
    2
    c2    =mc2．
    由正弦定理可得：
    cosB
    sinC
    •sin2C    +
    cosC
    sinB
    •sinBsinCcosA    =msin2C，
    化为cosB+cosCcosA=msinC，
    ∵cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，
    ∴sinAsinC=msinC，
    ∴m=sinA．
    ∵tanA=
    		2
    2
    ，∴sinA=
    1
    		3
    =
    		3
    3
    ．
    故答案为：
    		3
    3
    ．
    点评：本题综合考查了三角形外接圆的性质、垂径定理、正弦定理、数量积运算性质、两角和差的余弦公式、三角函数基本关系式等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    已知O是锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，若
    AO
    =x
    AB
    +y
    AC
    ，且2x+10y=5，则
    AB
    •
    AC
    =
    20
    20
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•辽宁一模）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若
    cosB
    sinC
    AB
    +
    cosC
    sinB
    AC
    =2m
    AO
    ，则m=
    sinθ
    sinθ
    ．（用θ表示）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A=
    π
    4
    ，其外接圆半径为R，若
    cosB
    c
    •
    AB
    +
    cosC
    b
    •
    AC
    =
    1
    2R
    m 
    AO
    ，则m=
    		2
    		2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，
    .
    AB
    		 
      
    .
    =16，
    .
    AC
    		 
      
    .
    =10
    		2
    ，若
    AO
    =x
    AB
    +y
    AC
    ，且32x+25y=25，则
    .
    AO
    		 
      
    .
    =
     
    ．

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