Question

已知α∈[0，

π

4

]，β∈[0，

π

4

]且sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，4tan

α

2

=1-tan2

α

2

，求α+β的值．

Answer 1

分析：第一个等式中将sin（2α+β）变形为sin[（α+β）+α]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，第二个等式变形后利用二倍角的正切函数公式化简，求出tanα的值，进而求出tan（α+β）的值，根据α与β的范围求出α+β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+β的度数．

解答：解：∵sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，即tan（α+β）=2tanα，
∵4tan

α

2

=1-tan²

α

2

，
∴

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

1

2

，即tanα=

1

2

，
∴tan（α+β）=2tanα=1，
∵α∈[0，

π

4

]，β∈[0，

π

4

]，
∴α+β∈[0，

π

2

]，
则α+β=

π

4

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，半角的三角函数，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．