Question

【题目】某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a﹣ x）万元（a＞0）．
（1）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．
（2）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，

∴x2﹣300x≤0，

∵x＞0，

∴0＜x≤300；

（2）解：生产B产品创造利润12（a﹣ x）x万元，设备升级后生产这批A产品的利润12（500﹣x）（1+0.5x%），

∴12（a﹣ x）x≤12（500﹣x）（1+0.5x%），

∴a≤ + + ．

∵ + ≥2 =4，当且仅当 = ，即x=250时等号成立，

∴0＜a≤5.5，

∴a的最大值是5.5

【解析】（1）由题意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，即可求x的取值范围．（2）利用生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，建立不等式，即可求a的最大值．
【考点精析】掌握基本不等式在最值问题中的应用和函数的零点是解答本题的根本，需要知道用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．