Question

15．已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x²+y²=1，动点M到圆的切线长与|MQ|的比值分别为1或2时，分别求出点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出M的坐标，通过解直角三角形表示出切线长，利用两点距离公式表示出|MQ|的长，利用已知条件求出点M 的轨迹方程．

解答 解：设点M的坐标为（x，y），
则点M到圆的切线长|MA|=$\sqrt{{MO}^{2}-{AO}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$，
|MQ|=$\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}$，
（1）当动点M到圆的切线长与|MQ|的比值为1时，
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$=$\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得：4x-5=0，
此时点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线；
（1）当动点M到圆的切线长与|MQ|的比值为2时，
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$=2$\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得3x²+3y²-16x+17=0，
此时点M的轨迹是一个圆．

点评 本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力．直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．