Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2，∠ABC=120°．M、N分别为线段AB，CD的中点，连接AN，DM交于点O，将△ADM沿直线DM翻折成△A'DM，使平面A'DM⊥平面BCD，F为线段A'C的中点．
（1）求证：ON⊥平面A'DM
（2）求证：BF∥平面A'DM；
（3）直线FO与平面A'DM所成的角．

Answer 1

分析：（1）连接MN，根据菱形的对角线互相垂直，平面A'DM⊥平面BCD，及面面垂直的性质定理可得AN⊥平面A'DM，即ON⊥平面A'DM
（2）取A'D中点E，连接EF、EM，根据中位定理及平行四边形的判定定理可得EFBM是平行四边形，进而根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理得到BF∥平面A'DM；
（3）证得A'O⊥平面ABCD后，以ON为x轴，OM为y轴，OA'为z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出直线FO的方向向量与平面A'DM的法向量，代入向量坐标公式，可得答案．

解答：证明：（1）连接MN，由平面几何知AMND是菱形
∴AN⊥DM…1’
∵平面A'DM⊥平面ABCD，DM是交线，AN?平面ABCD…2’
∴AN⊥平面A'DM，
即ON⊥平面A'DM…3’
（2）取A'D中点E，连接EF、EM
∵F是A'C中点
∴EF

∥ .

.

1

2

CD…4’
又M是AB中点
∴在菱形ABCD中，BM

∥ .

.

1

2

CD
∴EF

∥ .

.

BM…5’
∴EFBM是平行四边形
∴BF∥EM…6’
∵EM?平面A'DM，BF?平面A'DM…7’
∴BF∥平面A'DM…8’
解：（3）∵AB=2BC=2，M是AB中点
∴A'D=A'M=1
∵菱形ADNM中O是DM中点
∴A'O⊥DM
∵平面A'DM⊥平面ABCD
∴A'O⊥平面ABCD…9’
以ON为x轴，OM为y轴，OA'为z轴建立如图空间直角坐标系，∠ADN=∠ABC=120°
在△ADN中AD=DN=1，
∴AN=

AD2+DN2-2AD•DNcos120°

=

3

同理求得DM=AD=AM=1
∴N(

3

2

，0，0)、D(0，

1

2

，0)、A′(0，0，

3

2

)
∵M是CD中点
∴C(

3

，

1

2

，0)
∵F是A'C中点
∴F(

3

2

，

1

4

，

3

4

)…11’
∵NO⊥平面A'DM
∴平面A'DM的一个法向量

ON

=(

3

2

，0，0)
∵

OF

=(

3

2

，

1

4

，

3

4

)
∴|

OF

|=

1 4 + 1 16 + 3 16

=1
设OF与平面A'DM所成的角为θ，0＜θ＜

π

2

…12’
则sinθ=|cos＜

OF

，

ON

＞|=|

OF • ON

| OF || ON |

|…13’
=

3 2 × 3 2

1× 3 2

=

3

2

∴θ=

π

3

…14’
∴直线FO与平面A'DM所成的角为

π

3

…15’

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，解答（1）（2）的关键是熟练掌握空间直线与平面各位位置关系的判定定理及性质，（3）的关键是建立空间坐标系将空间线面夹角转化为向量夹角．