Question

设x₁，x₂∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²．
（1）若x≥0，求动点P(x，

x*a

)的轨迹C的方程；
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

的取值范围；
（3）设P（x，y）是平面上的任意一点，定义d1(P)=

1

2

(x*x)+(y*y)

，d2(P)=

1

2

(x-a)*(x-a)

．若在（1）中的轨迹C存在不同的两点A₁，A₂，使得d₁（A_i）=

a

d2(Ai)(i=1，2)成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）动点P(x，

x*a

)的轨迹C的方程即y=

x*a

，代入定义的运算，即可得轨迹C的方程
（2）由题意得y²=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0，将S，T，P，Q的坐标代入

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

可知只需求x_p+x_q，x_p•x_q，将直线与曲线联立后即可得x_p+x_q，x_p•x_q，代入即得

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

与m的函数关系，求范围即可
（3）设A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），由定义d1(P)=

1

2

(x*x)+(y*y)

，d2(P)=

1

2

(x-a)*(x-a)

，分别计算
d₁（A₁），d₁（A₂），d₂（A₁），d₂（A₂），d₁（A_i）=

a

d2(Ai)(i=1，2)成立，可转化为方程

x2+4ax

=

a

|x-a|在x∈[0，+∞）有两个不等的实数解，利用韦达定理得到不等式组，即可求得实数a的取值范围

解答：解：（1）设y=

x*a

=

(x+a)2-(x-a)2

=

4ax

∴动点P的轨迹C的方程为：y²=4ax（y≥0）
（2）由题意得y²=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0
则T（c，0）．S，T，P，Q都在直线l上，∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=

|0-c|

|xP-0|

+

|0-c|

|xQ-0|

=|c|(

1

|xP|

+

1

|xQ|

)，由题得c＜0，x_P＞0，x_Q＞0∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=-c(

1

xP

+

1

xQ

)=

-c(xP+xQ)

xPxQ

由

y2=8x x=my+c

消去y得x²-（2c+8m²）x+c²=0
∴

△=32m2(2m2+c)＞0 xP+xQ=2c+8m2＞0 xPxQ=c2＞0

∵c＜0，∴m2＞-

1

2

c∴

m2

c

＜-

1

2

∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=2-

8m2

c

＞2，

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

的取值范围是（2，+∞）
（3）由d1(P)=

1

2

(x*x)+(y*y)

=

x2+y2

，d₂（P）=|x-a|
设A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），由已知有

x 2 1 + y 2 1

=

a

|x1-a|，

x 2 2 + y 2 2

=

a

|x2-a|
故方程

x2+4ax

=

a

|x-a|在x∈[0，+∞）有两个不等的实数解
整理得（a-1）x²-（2a²+4a）x+a³=0在x∈[0，+∞）有两个不等的实数解∴

△=(2a2+4a)2-4a3(a-1)＞0 x1+x2= 2a2+4a a-1 ＞0 x1x2= a3 a-1 ≥0

又∵a＞0，∴a＞1
故实数a的取值范围是（1，+∞）

点评：本题综合考查了轨迹问题，直线与曲线的位置关系，一元二次方程根的分布等知识，需要有很强的理解力和运算力才可顺利求解，属难题