Question

已知椭圆（a＞b＞0）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为，求直线AB的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，，解得a=，c=1．
∴椭圆方程为------------（4分）
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，不符合题意故舍掉；-----------（6分）
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=-----------（8分）
所以|AB|=，------------（11分）
∵线段AB的长为，
∴=
∴k²=2
∴k=，------------（13分）
所以直线AB的方程为：或．---------（14分）
分析：（Ⅰ）由椭圆（a＞b＞0）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为，建立方程组，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y，利用韦达定理计算|AB|，结合线段AB的长为，即可求得k的值，从而可得直线AB的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，联立方程，正确运用韦达定理是关键．