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精英家教网如图,有一块矩形空地,要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域.
(2)当AE为何值时,绿地面积最大?
分析:(1)先求得四边形ABCD,△AHE的面积,再分割法求得四边形EFGH的面积,即建立y关于x的函数关系式;
(2)由(1)知y是关于x的二次函数,用二次函数求最值的方法求解.
解答:解:(1)S△AEH=S△CFG=
1
2
x2,(1分)
S△BEF=S△DGH=
1
2
(a-x)(2-x).(2分)
∴y=SABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x.(5分)
x>0
a-x>0
2-x≥0
a>2
,得0<x≤2(6分)
∴y=-2x2+(a+2)x,0<x≤2(7分)
(2)当
a+2
4
<2
,即a<6时,则x=
a+2
4
时,y取最大值
(a+2)2
8
.(9分)
a+2
4
≥2,即a≥6时,y=-2x2+(a+2)x,在(0,2]上是增函数,
则x=2时,y取最大值2a-4(11分)
综上所述:当a<6时,AE=
a+2
4
时,绿地面积取最大值
(a+2)2
8

当a≥6时,AE=2时,绿地面积取最大值2a-4(12分)
点评:本题主要考查实际问题中的建模和解模能力,注意二次函数求最值的方法.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,有一块矩形空地,要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y.写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域.

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(本题满分12分) 如图,有一块矩形空地,要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=,绿地面积为.

(1)写出关于的函数关系式,并指出这个函数的定义域;

(2)当AE为何值时,绿地面积最大?   (10分) 

 

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(本小题满分12分)如图,有一块矩形空地,要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=,绿地面积为.

(1)写出关于的函数关系式,指出这个函数的定义域.

(2)当AE为何值时,绿地面积最大?

 

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科目:高中数学 来源:2010-2011年云南省高一上学期期末数学试卷 题型:解答题

(12分)

如图,有一块矩形空地,要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=,绿地面积为.

(1)写出关于的函数关系式,指出这个函数的定义域.

(2)当AE为何值时,绿地面积最大?

 

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