Question

已知f（x）=2sin（π-x）sin(

π

2

-x)．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若A，B，C是锐角△ABC的内角，其对边分别是a，b，c，且f(

B

2

)=

3

2

，b²=ac试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f（x）=sin2x，进而根据周期公式可得答案．
（2）由（1）可得B=

π

3

，再结合余弦定理与题中条件b²=ac可得a=c，进而得到三角形是等边三角形．

解答：解：（1）由题意可得：f（x）=2sinxcosx=sin2x，
所以函数f（x）的最小值周期为T=

2π

2

=π．
（2）由（1）可得：f(

B

2

)=sinB=

3

2

，
又因为B是锐角△ABC的内角，
所以B=

π

3

．
在△ABC中由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosC，
又因为b²=ac，
所以（a-c）²=0，即a=c，
所以△ABC是等边三角形．

点评：本题值域考查诱导公式与三角函数的有关性质，以及利用余弦定理判断三角形的形状等问题，此题是一道综合性较强的题型，属于中档题型．