Question

是否存在常数a、b、c使等式1²+2²+3²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=an（bn²+c）对于一切n∈N^*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.

Answer 1

解析:

假设存在a、b、c使

1²+2²+3²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=an（bn²+c）

对于一切n∈N^*都成立.

当n=1时，a（b+c）=1；

当n=2时，2a（4b+c）=6；

当n=3时，3a（9b+c）=19.

解方程组  解得

证明如下：

①当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成立.

②假设n=k（k∈N^*）时等式成立，

即1²+2²+3²+…+k²+（k-1）²+…+2²+1²

=k（2k²+1）；

当n=k+1时，

1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²+k²+（k-1）²+…+2²+1²

=k（2k²+1）+（k+1）²+k²

=k（2k²+3k+1）+（k+1）²

=k（2k+1）（k+1）+（k+1）²

=（k+1）（2k²+4k+3）

=（k+1）［2（k+1）²+1］.

即n=k+1时，等式成立.

因此存在a=，b=2，c=1，使等式对一切n∈N^*都成立.