Question

【题目】如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等边三角形，且AA1⊥底面ABC，M为AA1的中点，N在线段AB上，且AN=2NB，点P在CC1上．
（1）证明：平面BMC1⊥平面BCC1B1；
（2）当 为何值时，有PN∥平面BMC1？

Answer 1

【答案】
（1）解：连接B1C，与BC1交于O，连接MO，则MO⊥BC1，

取BC中点Q，连接AQ，OQ，则AQ∥MO，

∵CC1⊥AQ，∴CC1⊥MO，

∵BC1∩CC1=C1，∴MO⊥平面BCC1B1，

∵MO平面BMC1，

∴平面BMC1⊥平面BCC1B1；

（2）解：取AE=2EM，则NE∥BM，

∵NE平面BMC1，BM平面BMC1，

∴NE∥平面BMC1，

= 时，EM∥PC1，四边形EMPC1是平行四边形，∴MC1∥EP，∴EP∥平面BMC1，

∵NE∩EP=E，∴平面NEP∥∥平面BMC1，

∴PN∥平面BMC1．

【解析】（1）连接B1C，与BC1交于O，连接MO，则MO⊥BC1 ， 取BC中点Q，连接AQ，OQ，则AQ∥MO，证明：MO⊥平面BCC1B1 ， 即可证明平面BMC1⊥平面BCC1B1；（2）取AE=2EM，则NE∥BM， = 时，EM∥PC1 ， 四边形EMPC1是平行四边形，即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．