Question

19．已知$f（x）=\frac{x}{e^x}，{f_1}（x）=f'（x），{f_2}（x）=[{f_1}（x）]'，…，{f_{n+1}}=[{f_n}（x）]'，n∈N$，照此规律f_n（x）=$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$．

Answer 1

分析 由已知中定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*．
结合f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，…，分析出f_n（x）解析式随n变化的规律，可得答案

解答 解：∵f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{1}（x-1）}{{e}^{x}}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{2}（x-2）}{{e}^{x}}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{3}（x-3）}{{e}^{x}}$，…，
由此归纳可得：f_n（x）=$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$，
故答案为：$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$

点评 本题考查了函数求导以及归纳推理；归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．