【题目】如图,直三棱柱 中, , , 是棱上的动点.
证明: ;
若平面分该棱柱为体积相等的两个部分,试确定点的位置,并求二面角的大小.
【答案】(1)见解析(2)30°
【解析】试题分析:(1)由平面得,再由,得平面,
所以;(2)根据割补法求,根据体积为三棱柱一半,求得为中点;)取的中点,根据垂直关系可得是二面角的平面角.最后解三角形可得二面角的大小
试题解析:解:(I)平面,
又,即
平面,
又平面, ;
(II) ,
依题意,
为中点;
(法1)取的中点,过点作于点,连接
,面面面
,得点与点重合,且是二面角的平面角.
设,则,得二面角的大小为30°.
(法2)以为空间坐标原点, 为轴正向、为轴正向、为轴正向,建立空间直角坐标系,设的长为 1,则.
作中点,连结,则,从而平面,平面的一个法向量
设平面的一个法向量为,则
,令,得,
故二面角为30°.
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【题目】(本小题满分分)
已知半径为的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(Ⅰ)求圆的方程.
(Ⅱ)设直线与圆相交于, 两点,求实数的取值范围.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得点到, 两点的距离相等,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|,不等式f(x)≤3的解集为[﹣1,5].
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(I)求直方图中的a值;
(II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由。
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【题目】父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋,就在父亲节的当天,快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了,马上可以送到小明家,到达时间为晚上6点到7点之间,小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家,到家的时间在晚上5点半到6点半之间。求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率(快递员把鞋子送到小明家的时候,会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中)为 __________.
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【题目】如图,矩形ABCD中,,,F分别在线段BC和AD上,,将矩形ABEF沿EF折起记折起后的矩形为MNEF,且平面平面ECDF.
Ⅰ求证:平面MFD;
Ⅱ若,求证:;
Ⅲ求四面体NFEC体积的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E为棱PD中点.
(1)求证:PD⊥平面ABE;
(2)若F为AB中点, ,试确定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为 .
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