Question

过直线y=2上一点P向单位圆作两切线，切点分别为A、B．
（I）若A、B两点所在直线与直线y=-2交于点M，若点M的横坐标的取值范围为，求P点横坐标的取值范围；
（II）在（I）的条件下，是否存在一条切线作为入射线射到直线y=-2上，其反射线也与单位圆相切？若存在，求出该切线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）设P（x₀，2）由题意可得PA²=OP²-OA²=（x₀²+4）-1，
所以以P为圆心，以AP为半径的圆的方程为（x-x₀）²+（y-2）²=x₀²+3，…①
又单位圆的方程为x²+y²=1…②
直线AB的方程就是两个圆的公共弦的方程，
所以①-②得x₀x+2y=1，由得M，
又点M的横坐标的取值范围为，得2≤x₀≤5；
（Ⅱ）设存在一条切线作为入射线射到直线y=-2上，入射点为P，其反射线也与单位圆相切，
由题意可知法线必为y轴，
所以点P坐标为（-2，0），设入射线与单位圆相切于点N，在直角三角形PNO中，，∠OPN=30°
所以入射光线AP的倾斜角为60°，，直线AP又经过点（-2，0）
所以入射线AP的方程为：；由得；
所以存在这样的入射光线满足题意，其方程为：．
分析：（I）求出以P为圆心，以AP为半径的圆的方程，利用圆系方程，求出公共弦AB的方程，将M点的坐标代入AB的方程，利用点M的横坐标的取值范围为可以求得P点横坐标的取值范围；
（Ⅱ）设存在一条切线作为入射线射到直线y=-2上，其反射线也与单位圆相切，满足要求的法线为y轴，求得入射线的方程后，验证即可．
点评：本题考查直线的一般式方程，圆的切线方程，圆系方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．