Question

（2012•日照一模）给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，则函数f（x）=x²+a^x-3只有一个零点；
③函数y=2

2

sinxcosx在[-

π

4

，

π

4

]上是单调递减函数；
④若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4．
其中真命题的序号是

①④

（把所有真命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；可由全称命题的否定的书写规则判断其真假；
②若0＜a＜1，则f（x）=x²+a^x-3只有一个零点；可由函数的图象特征进行判断；
③先化简函数的表达式，然后利用复合函数的单调性，求出函数的单调减区间即可判断．
④若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4；可由基本不等式将方程转化关于a+b不等式，再解不等式求出a+b的最小值，进行验证．

解答：解：①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”是一个真命题，由于原命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题；正确；
②若0＜a＜1，则f（x）=x²+a^x-3只有一个零点是个假命题，由于x=0时，f（0）＜0，x趋向于负无穷大与正无穷大时函数值都是正数，故此函数至少有两个零点；
③函数y=

2

sin2x，
因为由 2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，∴kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，（k∈Z），
∴函数y=2

2

sinxcosx在[-

π

4

，

π

4

]上不是单调递减函数，故错；
④若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4是个真命题，
由lga+lgb=lg（a+b），得ab=a+b≤（

a+b

2

）2
解得a+b≥4，故a+b的最小值为4；
综上证明知①④是真命题
故答案为：①④

点评：本题考查命题真假判断与应用，解题的关键是熟练掌握每个命题所涉及的基础知识与基本技能，本题中②④两个命题的真假判断是个难点，其中②的判断用到了特殊值法，④的判断技巧性较强，解题时对此类技巧要注意掌握