Question

12．已知函数f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2016，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断函数f（x）的单调性即可；
（2）利用k=2016将方程化简，得到函数g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax有唯一的零点，
将问题转化为函数的零点问题，然后利用导数分析函数的单调性，结合$\left\{\begin{array}{l}{g{（x}_{2}）=0}\\{g′{（x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，求出x₂与a的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）；
∴x＞0且f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$•coskπ=2x-$\frac{2a}{x}$•（-1）^k；
∴当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k是偶数时，f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$=$\frac{2{（x}^{2}-a）}{x}$，
∴当x∈（0，$\sqrt{a}$）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
当x∈（$\sqrt{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
（2）当k=2016时，f（x）=x²-2alnx（k∈N^*），
设g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，（x＞0），
则g′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$-2a=$\frac{2{（x}^{2}-ax-a）}{x}$，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$（小于0，舍去），x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是单调递减函数；
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是单调递增函数；
∴x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）；
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{g{（x}_{2}）=0}\\{g′{（x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}-2al{nx}_{2}-2{ax}_{2}=0}\\{{{x}_{2}}^{2}-{ax}_{2}-a=0}\end{array}\right.$；
两式相减得alnx₂+ax₂-a=0，
又∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（*）；
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解，
又∵h（1）=0，∴方程（*）的解为x₂=1，从而得a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数与方程的综合应用问题，也考查了函数与方程思想、分类讨论思想以及导数的综合应用问题，是较难的题目．