Question

已知f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)
（1）若函数的定义域为R则实数a的取值范围是

 

．
（2）若函数的值域为R则实数a的取值范围是

 

．
（3）若函数在（-∞，1]上有意义则实数a的取值范围是

 

．
（4）若函数的值域为（-∞，1）则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）．若函数的定义域为R，则x²-2ax+3＞0的解集是R，解可得答案，
（2）．若函数的值域为R，则x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²≥3-a²≤0．
（3）．若函数在（-∞，1]上有意义，则y=x²-2ax+3在（-∞，1]上是单调函数，且x²-2ax+3＞0在R上恒成立．
（4）．若函数的值域为（-∞，1），则x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²≥3-a²≥

1

2

．

解答：解：（1）若函数的定义域为R，则x²-2ax+3＞0的解集是R，
△=4a²-12＜0，解得-

3

＜a＜

3

．
（2）若函数的值域为R，
则x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²≥3-a²≤0，
∴a≥

3

或a≤-

3

．
（3）∵f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)在 （-∞，1]上有意义，
则y=x²-2ax+3在（-∞，1]上是单调函数，且x²-2ax+3＞0在 上恒成立，
∴

a≥1 1-2a+3＞0

，∴

a≥1 a＜2

，
∴1≤a＜2，∴a的取值范围为[1，2）．
（4）若函数的值域为（-∞，1）则x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²≥3-a²≥

1

2

，
∴-

10

2

≤a≤

10

2

．

点评：对数函数的性质和二次函数的最值相结合是解题的关键．