Question

已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）由知圆锥曲线为双曲线，再由焦点坐标知，从而得，即双曲线的方程是；（Ⅱ）设出两点的坐标，再将直线与曲线方程联立，知方程应有两个根.再由二次项的系数、根的判别式、以及这两根应为负根，即两根之和小于0，两根之积大于0.从而得到的取值范围；（Ⅲ）由结合上问的取值范围从而得到，然后由通过向量的坐标表示得到点，代入曲线的方程即可.
试题解析：（Ⅰ）由知，曲线是以为焦点的双曲线，且，
故双曲线的方程是．                       (3分)
（Ⅱ）设，联立方程组：，
从而有：为所求.         (8分)
（Ⅲ）因为，
整理得或，
注意到，所以，故直线的方程为.  (10分)
设，由已知，
又，所以．
在曲线上，得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
所以为所求．                        (13分)