Question

（2012•深圳二模）定义数列{a_n}：a₁=1，a₂=2，且对任意正整数n，有an+2=[2+(-1)n]an+（-1）ⁿ⁺¹+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式与前n项和S_n；
（2）问是否存在正整数m，n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，则求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，则加以证明．

Answer 1

分析：（1）由数列递推式可得数列{a_2k-1}是首项a₁=1，公差为2等差数列；数列{a_2k}是首项a₂=2，公比为3的等比数列，由此可得数列{a_n}的通项公式；对任意正整数k，先分组求和S_2k，进而可得S_2k-1=S_2k-a_2k，从而可得数列{a_n}的前n项和；
（2）若S_2n=mS_2n-1，则3ⁿ+n²-1=m（3^n-1+n²-1），从而可求m=1，2，3，分类讨论，即可求得符合条件的正整数对（m，n）．

解答：解：（1）对任意正整数k，a2k+1=[2+(-1)2k-1]a2k-1+（-1）^2k+1=a_2k-1+2，
a2k+2=[2+(-1)2k]a2k+（-1）^2k+1+1=3a_2k．（1分）
所以数列{a_2k-1}是首项a₁=1，公差为2等差数列；数列{a_2k}是首项a₂=2，公比为3的等比数列．（2分）
∴对任意正整数k，a_2k-1=2k-1，a_2k=2×3^k-1．（3分）
∴数列{a_n}的通项公式a_n=

2k-1，n=2k-1 2×3k-1，n=2k

=

n，n为正奇数 2×3 n 2 -1．n为正偶数

（4分）
∴对任意正整数k，S_2k=

k(1+2k-1)

2

+

2(1-3k)

1-3

=3^k+k²-1，S_2k-1=S_2k-a_2k=3^k-1+k²-1（6分）
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=

3k-1+k2-1，n=2k-1 3k+k2-1，n=2k

=

3 n-1 2 + n2+2n-3 4 ，n为正奇数 3 n 2 + n2 4 -1，n为正偶数

（7分）
（2）若S_2n=mS_2n-1，则3ⁿ+n²-1=m（3^n-1+n²-1）
∴3^n-1（3-m）=（m-1）（n²-1），
∴m≤3，∴m=1，2，3（8分）
①当m=1时，3^n-1（3-m）＞0=（m-1）（n²-1），即S_2n≠mS_2n-1；（9分）
②当m=3时，3^n-1（3-3）=（2-1）（n²-1），∴n=1，即S₂，=3S₁；（10分）
③当m=2时，3^n-1=n²-1，则存在k₁＜k₂，k₁，k₂∈N，使得n-1=3^k₁，n+1=3^k2，k₁+k₂=n-1
从而3^k2-3^k1=3^k1（3^k2-k1-1）=2，得3^k1=1，3^k2-k1-1=2，
∴k₁=0，k₂-k₁=1，得n=2，即S₄=2S₃．（13分）
综上可知，符合条件的正整数对（m，n）只有两对：（2，2）与（3，1）（14分）

点评：本题考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识．