Question

9．在x轴上有一定点A（a，0）及一异于点A的动点A′，在y轴上有一定点B（0，b）及一异于点B的动点B′（ab≠0），且A′B′∥AB．求证：直线A′B与AB′的交点在一条确定的直线上．

Answer 1

分析 通过直线平行转化为向量共线，求出直线AB′，直线A′B的方程，消去参数k，可得两条直线交点的轨迹方程，判断即可．

解答 证明：∵A（a，0）、B（0，b）；∴$\overrightarrow{AB}$=（-a，b）
∵AB∥A′B′；∴$\overrightarrow{A′B′}$=（-ka，kb）（k≠1）
∴A′（ka，0）、B（0，kb）
则直线AB′：$\frac{x}{ka}$+$\frac{y}{b}$=1…①
直线A′B：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{kb}$=1…②
联立①②得：-$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=0；即y=$\frac{b}{a}$x，
即直线A′B与直线AB′的交点在一条确定的直线y=$\frac{b}{a}$ x．

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线方程的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．