Question

已知函数f(x)=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)
（1）当m=-

3

2

时，求函数f（x）的极值点；
（2）当m≤1时，曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线l与C有且只有一个公共点，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值点；
（2）先求切线方程为y=-x+1，再由切线L与C有且只有一个公共点，转化为

1

2

mx²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解，从而可求实数m的范围．

解答：解：（1）当m=-

3

2

时，f(x)=-

3

4

x2-2x+1+ln(x+1)（x＞-1）
∴f′(x)=-

3x

2

-2+

1

x+1

=-

(x+2)(3x+1)

2(x+1)

∴x∈（-1，-

1

3

）时，f′（x）＞0；x∈（-

1

3

，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的极值点是x=-

1

3

；
（2）f′（x）=mx-2+

1

x+1

，∴f′（0）=-1，∴切线L：y=-x+1
∵切线L与C有且只有一个公共点，∴

1

2

mx²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解，显然x=0时成立．
令g（x）=

1

2

mx²-x+ln（x+1），则g′（x）=

mx[x-( 1 m -1)]

x+1

①当m=1时，g′（x）≥0，函数在（-1，+∞）上单调增，x=0是方程唯一实数解；
②当m＜1时，由g′（x）=0得x₁=0，x₂=

1

m

-1∈（-∞，-1）∪（0，+∞），从而有x=x₂是极值点，因此g（x）=0还有一个不是0的解，矛盾
综上知，m=1．

点评：本题主要考查导数的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．