Question

【题目】已知实数a，b，c，d满足 =1，其中e是自然对数的底数，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（ ）
A.4
B.8
C.12
D.18

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵实数a，b，c，d满足 =1，∴b=a﹣2ea ， d=2﹣c， ∴点（a，b）在曲线y=x﹣2ex上，点（c，d）在曲线y=2﹣x上，
（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y=x﹣2ex到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方．
考查曲线y=x﹣2ex上和直线y=2﹣x平行的切线，
∵y′=1﹣2ex ， 求出y=x﹣2ex上和直线y=2﹣x平行的切线方程，
∴令y′=1﹣2ex=﹣1，
解得x=0，∴切点为（0，﹣2），
该切点到直线y=2﹣x的距离d= 就是所要求的两曲线间的最小距离，
故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为d2=8．
故选：B．
由已知得点（a，b）在曲线y=x﹣2ex上，点（c，d）在曲线y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y=x﹣2ex到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方．由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．