Question

曲线C是中心在原点，焦点为（2，0）的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=

3

x．线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点．
（I）求曲线C的方程；
（II）当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值．

Answer 1

分析：（I）设曲线C的方程为

x2

λ

+

y2

3λ

+1(x≥

λ

，λ＞0)，由λ+3λ=4，解得λ=1．由此能得到曲线C的方程．
（II）设弦PQ的方程为y=k（x-2），代入曲线C的方程得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，设点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），能求出k²＞3．点R到y轴距离|xR|=|

x1+x2

2

|=

2k2

k2-3

=2+

6

k2-3

＞2．当弦PQ的斜率不存在时，点R到y轴距离|x_R|=2．由此能求出点R到y轴距离的最小值．

解答：解：（I）设曲线C的方程为

x2

λ

+

y2

3λ

+1(x≥

λ

，λ＞0)，
∵λ+3λ=4，解得λ=1．
故所求曲线C的方程是x2-

y2

3

=1(x≥1)…（5分）
（II）当弦PQ的斜率存在时，则弦PQ的方程为y=k（x-2），
代入曲线C的方程得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
设点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
由

16k4+4(3-k2)(-4k2-3)＞0 x1+x2=- 4k2 3-k2 ＞0 x1x2=- 4k2+3 3-k2 ＞0

⇒k2＞3…（9分）
点R到y轴距离|xR|=|

x1+x2

2

|=

2k2

k2-3

=2+

6

k2-3

＞2．…（12分）
当弦PQ的斜率不存在时，
点R到y轴距离|x_R|=2，…（13分）
点R到y轴距离的最小值为2．…（14分）

点评：本题考查曲线C的方程的求法和当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．