Question

已知函数f(x)=

3x

x+3

，数列{x_n}满足x₁=1，x_n+1=f（x_n），n∈N^*
（1）求数列{x_n}的通项公式．
（2）记a_n=x_nx_n+1，S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*，求证：S_n＜3．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）的式子给出x_n+1的表达式，然后变形得出表达式

1

xn+1

-

1

xn

=

1

3

，再用等差数列的定义得出数列{

1

xn

}是以公差为

1

3

的等差数列，最后由等差数列的通项公式给出{x_n}的表达式；
（2）先求出a_n，用拆项求和的方法进行求和式，根据变量n的范围进行放缩，最后从所得范围中证得结论．

解答：解：（1）由题意，xn+1=

3xn

xn+3

 (n∈N*)
由xn+1=

3xn

xn+3

 (n∈N*)得

1

xn+1

=

xn+3

3xn

=

1

3

+

1

xn

∴

1

xn+1

-

1

xn

=

1

3

 (n∈N*)（4分）
于是数列{

1

xn

}是以公差为

1

3

的等差数列，且首项为1，
故

1

xn

=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，
所以xn=

3

n+2

 (n∈N*)．            （8分）
证明：（2）an=xnxn+1=

3

n+2

•

3

n+3

=9(

1

n+2

-

1

n+3

)，n∈N*（11分）
∴Sn=a1+a2+…+an=9(

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+2

-

1

n+3

)
=9(

1

3

-

1

n+3

)＜3（15分）

点评：本题综合了函数、数列、不等式三个常见考点，属于难题．第一小问构造一个等差数列，抓住函数的表达式是解题的关键；第二小问求证不等式，注意运用拆项求和的方法进行解答．