Question

15．已知函数$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x+\frac{3}{4}（x∈R）$
（1）当$x∈[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$时，求函数f（x）的最小值和最大值；
（2）若x=x₀$（{0≤{x_0}≤\frac{π}{2}}）$为f（x）的一个零点，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）降幂后利用两角差的正弦化简，然后由x的范围求得相位的范围，则函数的最值可求；
（2）由x₀为f（x）的一个零点，可得$sin（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{4}$．再由x₀的范围求得$2{x}_{0}-\frac{π}{6}$的范围，求出$cos（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）$，最后由两角和的正弦得答案．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-co{s}^{2}x+\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}+\frac{3}{4}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}$．
当$x∈[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$时，得$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{3}，π]$，
则sin（$2x-\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{4}$∈[$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4}，\frac{5}{4}$]，
即函数f（x）的最小值和最大值分别为$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$；
（2）由f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}=0$，
得$sin（2x-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{4}$，则$sin（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{4}$．
∵$0≤{x}_{0}≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}≤2{x}_{0}-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，则$cos（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）=\sqrt{1-（-\frac{1}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴sin2x₀=sin[（$2{x}_{0}-\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（$2{x}_{0}-\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（$2{x}_{0}-\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$（-\frac{1}{4}）×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查三角函数最值的求法，考查了三角函数中的恒等变换应用，训练了“拆角配角”思想的应用，是中档题．