Question

10．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（-1+x）=f（-1-x），且f（0）=-3，f（1）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（log₂x）+mlog₂x+m²在区间[$\frac{1}{4}$，4]上的最大值为20，求实数m的值；
（3）若对任意互不相同的实数x₁，x₂∈[1，5]，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜k成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的性质得出方程即可求解．
（2）换元法转化为y=t²+2t-3+mt+m²=t²+（m+2）t-3+m²，t∈[-2，2]，利用二次函数的性质得出不等组即可．
（3）理解$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜k成立，与导数最值有关即可．

解答 解：（1）二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵满足f（-1+x）=f（-1-x），
∴对称轴x=-1=$-\frac{b}{2a}$，
∵f（0）=-3，f（1）=0
∴c=-3，a+b+c=0，
a=1，b=2．c=-3，
∴f（x）=x²+2x-3，
（2）∵x∈[$\frac{1}{4}$，4]，t=log₂x
∴-2≤t=log₂x≤2，
∵函数g（x）=f（log₂x）+mlog₂x+m²
∴y=t²+2t-3+mt+m²=t²+（m+2）t-3+m²，t∈[-2，2]
∵最大值为20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{m+2}{2}≤0}\\{{2}^{2}+2（m+2）-3+{m}^{2}=20}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{m+2}{2}＞0}\\{（-2）^{2}-2（m+2）-3+{m}^{2}=20}\end{array}\right.$
解得：m=3或m=1-2$\sqrt{6}$，
（3）∵f（x）=x²+2x-3，
∴f′（x）=2x+2，
∵x∈[1，5]，
∴4≤f′（x）≤12，
∵对任意互不相同的实数x₁，x₂∈[1，5]，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜k成立，
∴根据导数的几何意义得出；k＞12即可
∴实数k的取值范围：k＞12

点评 本题综合考查了二次函数的性质，不等式的运用，导数的几何意义，属于综合题目，理解题意最关键．