Question

5．如图四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BCE为等边三角形，△ABE是以∠A为直角的等腰直角三角形，且AC=BC．
（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设O为BE的中点，连接AO与CO，说明AO⊥BE，CO⊥BE．证明AO⊥CO，然后证明平面ABE⊥平面BCE．
（Ⅱ）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，求出相关点的坐标，平面ADE的法向量，平面DEC的法向量，利用向量的数量积求解二面角A-DE-C的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：设O为BE的中点，连接AO与CO，
则AO⊥BE，CO⊥BE．…（1分）
设AC=BC=2，则AO=1，$CO=\sqrt{3}$，⇒AO²+CO²=AC²，…（3分）
∠AOC=90°，所以AO⊥CO，
故平面ABE⊥平面BCE．…（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AO，BE，CO两两互相垂直．OE的方向为x轴正方向，OE为单位长，
以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，0，1），E（1，0，0），$C（0，\sqrt{3}，0）$，B（-1，0，0），$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BA}=（1，\sqrt{3}，1）$，
所以$D=（1，\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{AD}=（1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{AE}=（1，0，-1）$，
$\overrightarrow{EC}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{CD}=（1，0，1）$，…（8分）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ADE的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，即$\begin{array}{l}|x+\sqrt{3}y=0，\\|x-z=0，\end{array}$所以$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，1，-\sqrt{3}）$，
设$\overrightarrow{m}$是平面DEC的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，同理可取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，1，-\sqrt{3}）$，…（10分）
则$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{7}$，所以二面角A-DE-C的余弦值为$\frac{1}{7}$．…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．