Question

已知函数f（x）=log₃是f（x）图象上的两点，横坐标为的点P满足2（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先用表示出，再由P是MN的中点可得到x₁+x₂=1，然后代入到y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）结合对数的运算法则即可得到y₁+y₂=1，得证．
（2）先由（Ⅰ）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=1，然后对进行倒叙相加即可得到，再结合x₁+x₂=1时，y₁+y₂=1可得到．
（3）将（2）中的．代入到a_n的表达式中进行整理当n≥2时满足．，然后验证当n=1时满足，再代入到T_n中进行求值，当T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立时可转化为恒成立，再由均值不等式可求出m的范围．
解答：解：（1）由已知可得，，
∴P是MN的中点，有x₁+x₂=1．
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）
=
=
=
=
=．
（2）解：由（Ⅰ）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₁）=1
，
，
相加得

=
=n-1
∴．
（3）解：当n≥2时，
．
又当n=1时，
．
∴．
=．
由于T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，

∵，当且仅当n=2时，取“=”，
∴
因此．
综上可知，m的取值范围是．
点评：本题主要考查数列求和的倒叙相加法、数列的裂项法和均值不等式的应用．考查对基础知识的综合运用．