Question

1．在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使$\sqrt{2}≤\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ≤2$成立的概率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的辅助角公式求出$\sqrt{2}≤\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ≤2$的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答 解：由$\sqrt{2}≤\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ≤2$得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
∵0≤θ≤π，
∴当0≤θ≤$\frac{π}{4}$，
则“$\sqrt{2}≤\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ≤2$”发生的概率P=$\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，利用辅助角公式求出不等式的等价条件是解决本题的关键．