Question

15．已知直线l经过抛物线x²=4y的焦点，且与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点．
（1）求抛物线准线方程；
（2）若△AOB的面积为4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由抛物线x²=4y的方程可得焦点F（0，1），准线方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线l的方程为：y=kx+1．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式、点到直线的距离公式即可得出k．

解答 解：（1）由抛物线x²=4y的方程可得焦点F（0，1），准线方程为y=-1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线l的方程为：y=kx+1．
联立抛物线方程，化为x²-4kx-4=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}+16}$=4（1+k²）．
点O到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$×=4（1+k²）×$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4，
解得k²=3，
∴k=±$\sqrt{3}$．
∴直线l的方程为：y=$±\sqrt{3}$x+1．

点评 本题考查了直线与抛物线的相交问题转化为方程联立可得根与系数、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．