Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+10n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${c_n}=\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由{a_n}的前n项和S_n=3n²+10n，n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n．又{b_n}是等差数列，公差为d，且a_n=b_n+b_n+1，b₁+b₂=2b₁+d=a₁=13，b₂+b₃=2b₁+3d=a₂=19，解出即可得出．
（II）${c_n}=\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$$⇒{c_n}=（3n+4）•{2^{n+1}}$，再利用“错位相减法”与等比数列求和公式即可得出．

解答 解：（I）由{a_n}的前n项和S_n=3n²+10n，
∴n=1时，a₁=S₁=13；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²+10n-[3（n-1）²+10（n-1）]=6n+7，n=1时也成立．
∴a_n=6n+7，
又{b_n}是等差数列，公差为d，且a_n=b_n+b_n+1，
∴b₁+b₂=2b₁+d=a₁=13，
b₂+b₃=2b₁+3d=a₂=19，
解得b₁=5，d=3．
所以b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（II）${c_n}=\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$$⇒{c_n}=（3n+4）•{2^{n+1}}$，
${T_n}=7×{2^2}+10×{2^3}+13×{2^4}+…+（3n+4）×{2^{n+1}}$，…（1）
$2{T_n}=7×{2^3}+10×{2^4}+13×{2^5}+…+（3n+4）×{2^{n+2}}$…（2）
由（1）-（2）得：$（1-2）{T_n}=28+3（{2^3}+{2^4}+{2^5}+…+{2^{n+1}}）-（3n+4）×{2^{n+2}}$
$\begin{array}{l}=28+3（{2^{n+2}}-8）-（3n+4）×{2^{n+2}}\\=4-（3n+1）×{2^{n+2}}\end{array}$
${T_n}=（3n+1）×{2^{n+2}}-4$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．