Question

已知函数f(x)=2(ln

1+x

+

1

2

x2)-ax，其中a为常数．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：D

n

k=2

k-1

k2

＜ln

n+1

2

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）=2x-a+

1

x+1

≥0在（0，1）上恒成立，进而转化为2x+

1

x+1

≥a在（0，1）上恒成立，令t=2x+

1

x+1

，通过对t求导判断单调性，可得t的最小值为1，由不等关系可得答案．
（2）由（1）的结论，分析可得f（x）＞f（0），化简可得ln（x+1）＞x-x²，令x=

1

n

，（n≥2），可得ln（

1

n

+1）＞

1

n

-

1

n2

，变形可得ln

n+1

n

＞

n-1

n2

，所以

n

k=2

k-1

k2

=

1

22

+

2

32

+…+

n-1

n2

＜ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

，由对数的运算性质，化简可得证明．

解答：解：（1）根据题意，函数f(x)=2(ln

1+x

+

1

2

x2)-ax在（0，1）上单调递增，
则f′（x）=2x-a+

1

x+1

≥0在（0，1）上恒成立；
即2x+

1

x+1

≥a在（0，1）上恒成立，
令t=2x+

1

x+1

，则t′=1+（

1

x+1

）′=1-

1

(x+1)2

，
又由x∈（0，1），则t′＞0，
则t在（0，1）是增函数，
故有2x+

1

x+1

＞1，
所以求得a≤1，
（2）证明：由（1）可得，当a=1时，f（x）在（0，1）上递增，
所以f（x）＞f（0），即ln（x+1）＞x-x²，
令x=

1

n

，（n≥2）则

1

n

∈（0，

1

2

]⊆（0，1），
所以有ln（

1

n

+1）＞

1

n

-

1

n2

，变形可得ln

n+1

n

＞

n-1

n2

，
所以

n

k=2

k-1

k2

=

1

22

+

2

32

+…+

n-1

n2

＜ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln

n+1

2

；
即原不等式得证．

点评：本题考查不等式的证明与利用导数求函数的最值；（1）中注意x的范围是（0，1），因（x+1）的范围，不能将2x+

1

x+1

转化为2（x+1）+

1

x+1

-2后，直接用基本不等式求其最小值．