Question

2．已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x，其中e是自然对数的底数，e=2.71828…
（1）若函数φ（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$，求函数φ（x）的单调区间；
（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x₀，f（x₀））处的切线，证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，确定导数恒大于0，从而可得求函数φ （x）的单调区间；
（2）把g（x）≥kf（x+1）+1 （x≥0）恒成立，转化为kln（x+1）≤e^x-1在x≥0时恒成立，然后分k≤0和k＞0讨论，当k＞0时，利用放缩法转化为kln（x+1）≤kx≤e^x-1恒成立求解；
（3）先求直线l为函数的图象上一点A（x₀，f （x₀））处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）相切于点（${x}_{1}，{e}^{{x}_{1}}$），进而可得$ln{x}_{0}=\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$，再证明在区间（1，+∞）上x₀存在且唯一即可．

解答 （1）解：φ（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$，
φ′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{2}{（x-1）^{2}}=\frac{{x}^{2}+1}{x（x-1）^{2}}$．
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0，
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）；
（2）解：由g（x）≥kf（x+1）+1 （x≥0）恒成立，
得e^x≥kln（x+1）+1在x≥0时恒成立，
即kln（x+1）≤e^x-1在x≥0时恒成立，
∵e^x-1≥0，ln（x+1）≥0．
若k≤0，则kln（x+1）≤e^x-1在x≥0时恒成立；
若k＞0，由ln（x+1）≤x，得kln（x+1）≤kx，
由kx≤e^x-1，知当x=0时，对于任意正实数k都成立，
当x＞0时，不等式化为$k＜\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，h′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}=\frac{（x-1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$．
令φ（x）=（x-1）e^x，则φ′（x）=xe^x＞0，
∴φ（x）=（x-1）e^x在（0，+∞）上为增函数，
则h′（x）＞h′（0）=0，
则h（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴h（x）＞h（0）=1．
∴当0＜k≤1时，kln（x+1）≤kx≤e^x-1恒成立．
综上，若x≥0，则使g（x）≥kf（x+1）+1恒成立的实数k的取值范围是（-∞，1]；
（3）证明：∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切线l的方程为y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}x+ln{x}_{0}-1$，①
设直线l与曲线y=g（x）相切于点（${x}_{1}，{e}^{{x}_{1}}$），
∵g′（x）=e^x，∴${e}^{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{0}}$，∴x₁=-lnx₀．
∴直线l方程又为y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x+lnx₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}x+\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}+\frac{1}{{x}_{0}}$，②
由①②得$ln{x}_{0}-1=\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}+\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴$ln{x}_{0}=\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$．
下面证明在区间（1，+∞）上x₀存在且唯一．
由（1）可知，φ（x）=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$在区间（1，+∞）上递增．
又φ（e）=lne-$\frac{e+1}{e-1}$=$\frac{-2}{e-1}＜0$，φ（e²）=$ln{e}^{2}-\frac{{e}^{2}+1}{{e}^{2}-1}=\frac{{e}^{2}-3}{{e}^{2}-1}＞0$，
结合零点存在性定理，说明方程φ（x）=0必在区间（e，e²）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x₀．
在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数知识的综合运用运用，考查数学转化思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了函数零点存在性定理的用法，综合性比较强，难度较大，属压轴题．