如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,∠B = 900,D为棱BB1上一点,且面DA1 C⊥面AA1C1C.求证:D为棱BB1中点;(2)为何值时,二面角A -A1D - C的平面角为600.
(1)见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)过点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF,先证直线DE⊥面AA1C1C,再证BF⊥面AA1C1C,得D,E,F,B共面,再证DB∥EF ,从而有EF∥AA1,易得所证结论;(2)法1:建立空间直角坐标系,找出所需点的坐标,分别设出面DA1C和平面AA1DB的法向量,并列方程计算出来,再利用向量的数量积计算两向量的夹角的余弦值,便可得得值;法2:延长A1 D与直线AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B,过B作BH⊥A1 G于点H,连CH,证明∠CHB为二面角A -A1D - C的平面角,在CHB中,根据条件计算的表达式,可得结论.
试题解析:(1)过点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF.
∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C,面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C,∴直线DE⊥面AA1C1C ,3分
又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC,易知BF⊥AC,∴BF⊥面AA1C1C
由此知:DE∥BF ,从而有D,E,F,B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF ,从而有EF∥AA1,
又点F是AC的中点,所以DB = EF = AA1 = BB1,所以D点为棱BB1的中点; 6分
(2)解法1:建立如图所示的直角坐标系,设AA1 = 2b ,AB=BC = ,则D(0,0,b), A1 (a,0,2b), C (0,a,0), 7分
所以, , 8分
设面DA1C的法向量为则 可取,
又可取平面AA1DB的法向量,
cos〈〉, 10分
据题意有:, 12分
解得: = . 13分
解法2:延长A1 D与直线AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B,
过B作BH⊥A1 G于点H,连CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH,
由此知∠CHB为二面角A -A1D - C的平面角; 9分
设AA1 = 2b ,AB=BC =;在直角三角形A1A G中,易知AB = BG.
在DBG中,BH = = , 10分
在CHB中,tan∠CHB = = ,
据题意有: = tan600 = ,
解得:所以 = . 13分
考点:1、面面垂直的性质;2、二面角;3、利用空间向量解决几何问题.
科目:高中数学 来源: 题型:
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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科目:高中数学 来源:2011年四川省招生统一考试理科数学 题型:解答题
(本小题共l2分)
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[来源:]
P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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科目:高中数学 来源:2011年高考试题数学理(四川卷)解析版 题型:解答题
(本小题共l2分)
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一
P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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科目:高中数学 来源:四川省高考真题 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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