Question

2．A，B，C是球面上的三点，且AB=1，BC=2，∠ABC=120°，且球心到平面ABC的距离为3，则球的表面积为$\frac{220}{3}$π．

Answer 1

分析 求出△ABC的外接圆的半径，利用球心到平面ABC的距离为3，可求出球的半径，然后求球的表面积．

解答 解：由题意AB=1，BC=2，∠ABC=120°，
可知AC=$\sqrt{1+4-2×1×2×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，
设△ABC的外接圆的半径为r，则2r=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∵球心到平面ABC的距离为3，
正好是球心到BC的中点的距离，
∴球的半径是：R=$\sqrt{9+\frac{28}{3}}$=$\sqrt{\frac{55}{3}}$，
球的表面积是：4πR²=$\frac{220}{3}$π．
故答案为：$\frac{220}{3}$π．

点评 本题考查球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是中档题．确定三角形ABC的形状以及利用球半径与球心O到平面ABC的距离的关系，是解好本题的前提．