Question

（2010•青浦区二模）已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为菱形的直四棱柱，P是棱DD₁的中点，∠BAD=60°，底面边长为2，四棱柱的体积为8

3

，求异面直线AD₁与PB所成的角大小．（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：通过体积求出几何体的高，取AD的中点为E，连接PE，PB，说明∠EPB为直线PB与直线AD₁所成的角，然后解三角形求出sin∠EPB，异面直线AD₁与PB所成的角大小．

解答：解：由体积为8

3

，得h×2×2sin60°=8

3

，所以h=4（3分）
则BE⊥ADD₁A₁，（5分）
AD₁∥PE，∠EPB为直线PB与直线AD₁所成的角．（8分）
经计算BE=

3

，PB=2

2

，（10分）
sin∠EPB=

3

2 2

=

6

4

，
即异面直线AD1与PB所成的角为arcsin

6

4

（或arctan

15

5

）．（12分）

点评：本题考查异面直线及其所成的角，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．