Question

为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：

成绩等级	A	B	C	D	E
成绩（分）	90	70	60	40	30
人数（名）	4	6	10	7	3

（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；
（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．

Answer 1

解：（I）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为=，
即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为．
（II）由题意知随机变量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C（）⁰（）³=；P（X=1）=C（）¹（）²=；
P（X=2）=C（）²（）=；
P（X=3）=C（）³（）⁰=；
所以X的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）

X	0	1	2	3
P

…（11分）
故Eξ=0×+1×+2×+3×=1，所求期望值为1．
（III）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．
设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n．
则基本事件的总数为，
不妨设m＞n，
当m=90时，n=60或40或30，基本事件的数为C（C+C+C）；
当m=70时，n=40或30，基本事件的数为C（C+C）；
当m=60时，n=30，基本事件的数为CC；
∴P（M）==．
∴从这30名学生中，随机选取2人，“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为．
分析：（I）本题是一个统计问题，根据统计数据，从而得出从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率得到结果．
（II）由题意知由题意知随机变量X可取0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的概率，写出分布列和做出期望值．
（III）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n．得到基本事件的总数，不妨设m＞n，再对m，n的取值情形进行分类讨论算出各自的基本事件数，最后根据概率公式计算即可求得事件M的概率．
点评：本题考查等可能事件的概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个典型的综合题目．