Question

5．已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．当x∈（-3，2）时，f（x）＞0．
（1）求f（x））在[0，1]内的值域；
（2）若不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞-1$，对任意x＞3恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞0$，对任意|m|≤1恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，可得f（x）=0的两根为-3，2，由根与系数的关系求出a，b的值，进而得到函数的解析式，再由配方法求得函数的值域；
（2）把a，b的值代入，再把不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞-1$对任意x＞3恒成立转化为x²+（m-6）x+10-3m＞0对任意x＞3恒成立，进一步得到关于m的不等式组求得实数m的取值范围；
（3）把a，b的值代入，再把不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞0$对任意|m|≤1恒成立转化为关于x的不等式组求解．

解答 解：（1）由已知得，方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根为-3，2，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b-8}{a}=1}\\{-\frac{a+ab}{a}=-6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b-8=a}\\{1+b=6}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18=$-3（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{75}{4}$．
∴f（x）的最大值为f（0）=18，最小值为f（1）=12；
（2）不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞-1$对任意x＞3恒成立，
即x²+（m-6）x+10-3m＞0对任意x＞3恒成立，
则△=（m-6）²-4（10-3m）＜0①或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{m-6}{2}≤3}\\{{3}^{2}+3（m-6）+10-3m≥0}\end{array}\right.$②，
解①得：-2＜m＜2，解②得：m≥0．
∴实数m的取值范围为（-2，+∞）；
（3）不等式$-\frac{1}{3}a{x^2}+（m-6）x+b+4-3m＞0$对任意|m|≤1恒成立，
即（x-3）m+x²-6x+9＞0对任意|m|≤1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（x-3）+{x}^{2}-6x+9＞0}\\{（x-3）+{x}^{2}-6x+9＞0}\end{array}\right.$，解得x＜2或x＞5．
∴x的取值范围为：（-∞，2）∪（5，+∞）．

点评 本题考查恒成立问题，考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，基本不等式，函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．