Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意列式求出b，再由椭圆的长轴的长为4求得a，结合隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求．

解答 解：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，
得b=$\frac{|2|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=\sqrt{2}$．
又∵2a=4，∴a=2，
∴c²=a²-b²=2，即c=$\sqrt{2}$．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式，是基础题．