Question

【题目】设是由（）个不同的正整数组成的集合，其中每个元素的质因子不大于100，且中不存在四个不同的元素，使得这四个数之积是一个4次方数，求的最大值．

Answer 1

【答案】

【解析】

不大于100的质数有

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，

43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．

记为（）．

则中的数均有的形式，其中，（）．

而按奇偶性来分，共有种类型，于是，中可取出

对数组和，

二者为同一类型，即

（，）．

进而得到组．

若，则可从上述各组中取出一对数组和，二者为同一类型，

即（，）．

其所对应的中的4个元素之积为，是一个四次方数．

故．

所以，．

下面证明：．

对每种类型中的分量，若为奇数，取为；若为偶数，取为（）．

从而，每种类型的数组各有3个，共有个数组．

下面用反证法证明：上述数组中不存在4个数组，使得所有的分量之和均为4的倍数．

假设存在4个数组，，，，

使得每个分量、、、或

且（）．

易知或．

故

．

因此，上述4个数组为同一类型．但每种类型只有3个数组，矛盾．

故．