Question

某射手进行射击练习，每次射出一发子弹，每射击5发算一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习．已知他每射击一次的命中率为0.8，且每次射击命中与否互不影响．
（I）求一组练习中所耗用子弹数ξ的分布列，并求ξ的数学期望；
（II）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率．

Answer 1

解：（I） 由题意，一组练习中所耗用子弹数ξ 的取值为1，2，3，4，5
P（ξ=1）=0.8，P（ξ=2）=0.2×0.8=0.16，P（ξ=3）=0.2²×0.8=0.032，P（ξ=4）=0.2³×0.8=0.0064，P（ξ=5）=0.2⁴×0.8=0.00128
∴Eξ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.0064+5×0.00128=1.248；
（II）完成连续两组练习共耗用4发子弹，共有如下几种情况：第一组练习用了1发而第二组练习用3发；第一组练习用2发，第二组用2发；第一组练习用3发，第二组练习用1发．由于每次射击命中与否不影响，故所求概率P为
P=P（ξ=1）P（ξ=3）+P（ξ=2）P（ξ=2）+P（ξ=3）P（ξ=1）
0.8×0.2²×0.8+0.2×0.8×0.2×0.8+0.2²×0.8×0.8
×0.032+0.16×0.16+0.032×0.8=0.0768
分析：（I） 先确定一组练习中所耗用子弹数ξ 的取值，进而可得一组练习中所耗用子弹数ξ的分布列，从而可求ξ的数学期望；
（II）完成连续两组练习共耗用4发子弹，共有如下几种情况：第一组练习用了1发而第二组练习用3发；第一组练习用2发，第二组用2发；第一组练习用3发，第二组练习用1发．由于每次射击命中与否不影响，从而可求概率．
点评：本题以实际问题为载体，考查离散型随机变量的数学期望，考查概率，关键是确定一组练习中所耗用子弹数ξ 的取值．