Question

已知关于x的方程x³+ax²+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则

b

a

的取值范围

-2＜

b

a

＜-

1

2

．

Answer 1

分析：令f（x）=x³+ax²+bx+c，把x=1，y=0代入函数解析式求得a+b+c的值，进而可得f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b椭圆和双曲线的离心率的范围确定两根的范围确定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用线性规划求得

b

a

的取值范围．

解答：解：令f（x）=x³+ax²+bx+c
∵抛物线的离心率为1，∴1是方程f（x）=x³+ax²+bx+c=0的一个实根
∴a+b+c=-1
∴c=-1-a-b代入f（x）=x³+ax²+bx+c，
可得f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]
设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，则g（x）=0的两根满足0＜x₁＜1，x₂＞1
∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0
作出可行域，如图所示

b

a

的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，
∴-2＜

b

a

＜-

1

2

故答案为：-2＜

b

a

＜-

1

2

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，简单线性规划，考查计算能力．