Question

若定义域为[2a-1，a²+1]的函数f（x）=ax²+bx+2a-b是偶函数，则点（a，b）的轨迹是（ ）
A．一个点
B．两个点
C．线段
D．直线

Answer 1

【答案】分析：函数是偶函数，则其定义域关于原点对称，由此求出a的值，把a代入函数解析式后，再利用偶函数的定义求出b的值，则点（a，b）的轨迹可求．
解答：解：由定义域为[2a-1，a²+1]的函数f（x）=ax²+bx+2a-b是偶函数，
则2a-1+a²+1=0，即a²+2a=0，解得：a=0或a=-2．
当a=0时，函数f（x）=ax²+bx+2a-b=bx-b．
由f（-x）=f（x）得：-bx-b=bx-b，所以b=0；
当a=-2时，函数f（x）=ax²+bx+2a-b=-2x²+bx-b-4．
由f（-x）=f（x）得：-2（-x）²-bx-b-4=-2x²+bx-b-4．所以b=0．
所以满足定义域为[2a-1，a²+1]的函数f（x）=ax²+bx+2a-b是偶函数的点（a，b）的轨迹是点（0，0），（-2，0）
故选B．
点评：本题考查了函数奇偶性的性质，偶函数的图象关于y轴轴对称，训练了利用方程恒成立求参数的值，是基础题．