Question

（2009•宜昌模拟）如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB=BC=1，AA₁=2．过顶点D₁在空间作直线l，使l与直线AC和BC₁所成的角都等于60°，这样的直线l最多可作（　　）

A．1条

B．2条

C．3条

D．4 条

Answer 1

分析：连结AD₁ 、D₁ C，由正四棱柱的性质和余弦定理算出cos∠D₁ AC=

1

10

＜

1

2

，可得AC和BC₁ 所成的角α大于60°小于90°．将l、AC、BC₁ 平移到l'、A'C'、B'C₁'，并l'、A'C'、B'C₁'过同一点M，由∠B'MA'的平分线与A'C'、B'C₁'成的角均小于60°，再过角平分线作辅助平面γ垂直于与A'C'、B'C₁'所在的平面，让l'绕着点M在平面γ内按逆时针方向转动，加以观察可得符合条件的直线有2条．同理得到∠B'MC'的平分线方向上也有2条符合题意的直线，这样满足条件的直线一共有4条．

解答：解：正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，连结AD₁ 、D₁ C，则AD₁ ∥BC₁ ．
在△AD₁ C中，易得AD₁ =CD₁ =

5

，AC=

2

，
∴cos∠D₁ AC=

5+2-5

2× 5 × 2

=

1

10

＜

1

2

，
从而AC和BC₁ 所成的角α大于60°小于90°．
空间中过不同的定点作直线与已知直线成一定条件的角的直线条数相等，
因此可作l、AC、BC₁ 的平行线l'、A'C'、B'C₁'，
让l'、A'C'、B'C₁'过同一点M．
①∠B'MA'=180°-α，同一平面内角∠B'MA'的平分线正好与A'C'、B'C₁'
成的角均为

180°-α

2

＜60°．
过此时的角平分线作平面γ，使γ垂直于与A'C'、B'C₁'所在的平面，
当l'绕着点M在平面γ内按逆时针方向转动时，
l'与A'C'、B'C₁'所成的角由

180°-α

2

增大到90°，
再由90°减小到

180°-α

2

（还原），符合条件的直线有2条．
②∠B'MC'=α∈（60°，90°），
同一平面内角∠B'MC'的平分线与A'C'、B'C₁'成的角均为

α

2

＜60°．
过此时的角平分线作平面β，使β垂直于A'C'、B'C₁'所在的平面，
当l'绕着点M在平面β内按逆时针方向转动时，l'与A'C'、B'C₁'
所成的角由

α

2

增大到90°，再由90°减小到

α

2

（还原），
符合条件的直线也有2条．
因此，可得符合条件的直线共有4条．
故选：D

点评：本题给出正四棱柱，求过顶点D₁满足与直线AC和BC₁所成的角都等于60°的直线l的条数．着重考查了正四棱柱的性质、空间两条直线所成角的定义及其应用的知识，属于中档题．