Question

已知圆C：x²-8x+y²-9=0，过点M（1，3）作直线交圆C于A，B两点，△ABC面积的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意可设出过点M（1，3）的直线l方程，利用点到直线的距离公式求得圆心（4，0）到l的距离，用弦心距、半弦长、半径组成的直角三角形进行计算转化，从而可得到△ABC面积的表达式，可求得其最大值．
解答：解：设过点M（1，3）的直线方程为l：y-3=k（x-1），由x²-8x+y²-9=0得圆心C（4，0），半径r=5，
设圆心C（4，0）到直线l的距离为d，点C在l上的射影为M，则；
在直角△CMA中，=r²-d²===，
又，
 设△ABC面积为s，=（16-t）•（9+t）=，
∴，
∴．
 故答案为：．
点评：本题考查直线方程与圆的方程的应用，解决的方法利用弦心距、半弦长、半径组成的直角三角形进行计算，难点在于复杂的运算与化归，属于难题．