Question

设A={x|x²+8x=0}，B={x|x²+2（a+2）x+a²-4=0}，其中a∈R，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先化简集合A，根据A∪B=A，可得集合B可能为∅，{0}，{-8}，{0，-8}，再对集合B中的△分类讨论，看是否满足以上情况，求出即可．

解答：解：∵x²+8x=0，∴x（x+8）=0，解得x=0，或x=-8．∴A={0，-8}．
∵A∪B=A，∴B可能为∅，{0}，{-8}，{0，-8}．
方程x²+2（a+2）x+a²-4=0（?）的△=4（a+2）²-4（a²-4）=16（a+2）．
①当△=0，即a=-2时，此时B={0}，适合题意．
②当△＜0，即a＜-2时，得B=∅，适合题意．
③当△＞0，即a＞-2时，方程（?）由两个不等根，若为0，-8，则必须满足

-8+0=-(a+2) -8×0=a2-4

，无解，即0，-8不可能是方程（?）的两个根．
综上可知：实数a的取值范围是{a|a≤-2}．

点评：本题考查了集合的运算，恰当的分类讨论是解决此类问题的关键．