Question

17．如图，在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=30°，求下列事件的概率：
（1）在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；
（2）在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于点P，使BP＜AB．

Answer 1

分析 （1）根据几何概型的概率求法，只要求出满足BP＜AB的对应线段长度，利用长度比即可；
（2）在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于点P，使BP＜AB对于的部分是角度，所以利用角度比求概率．

解答 解：（1）在等腰三角形ABC中，设AB长为1，则BC长为$\sqrt{3}$，
在BC上取点C′，使BC′=1，满足条件BP＜1，则P点在线段BC'上，
由几何概型的公式得到在底边BC上任取一点P，使BP＜AB的概率为：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）在BC上取BC′=AB，则∠BAC′=$\frac{180°-30°}{2}=75°$．
则所有可能结果的区域为∠BAC，而使BP＜AB成立的可能结果区域为∠BAC′．
∵∠BAC=120°，∠BAC'=75°，由几何概型的公式得到，
∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于点P使BP＜AB的概率为$\frac{75°}{120°}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题给出等腰△ABC，求在两种取法下使得BP＜AB的概率．着重考查了几何概型及其应用的知识，属于中档题．解题时注意题意中的“测度”，准确把握“测度”是解决问题的关键．