Question

已知点F₁（-1，0），F₂（1，0），动点A到点F₁的距离是2

3

，线段AF₂的中垂线l交AF₁于点P．
（1）当点A变化时，求动点P的轨迹G的方程；
（2）过点F₁、F₂分别作互相垂直的两条直线分别与轨迹G交于点D、E和点M、N，试求四边形DMEN的面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，|PA|+|PF₁|=2

3

，及|PA|=|PF₂|，从而有|PF₁|+|PF₂|=2

3

，由椭圆的定义可知动点P的轨迹G的方程
（2）分别考虑求解：当直线DE与x轴垂直时，四边形DMEN的面积为

|DE|•|MN|

2

=4，；当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为

|DE|•|MN|

2

=4；当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入椭圆方程，消去y，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
设D点的坐标为（x₁，y₁），E点的坐标为（x₂，y₂），则根据|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 • k2+1

3k2+2

，
可求|DE|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

．MN=

4 3 [(- 1 k )2+1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 (1+k2)

2k2+3

，进而有四边形DMEN的面积S=

1

2

DE•MN=

1

2

•

4 3 (1+k2)

2+3k2

•

4 3 (1+ 1 k2 )

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

，结合函数的单调性及基本不等式可求面积的最值

解答：解：（1）如图，|AF₁|=2

3

，
∴|PA|+|PF₁|=2

3

，
又∵|PA|=|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=2

3

，
由椭圆的定义可知动点P的轨迹G的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=

4

3

，
此时|MN|=2

3

，四边形DMEN的面积为

|DE|•|MN|

2

=4，同理，当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为

|DE|•|MN|

2

=4．
当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE的方程为
y=k（x+1）（k≠0），代入椭圆方程，消去y，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
设D点的坐标为（x₁，y₁），E点的坐标为（x₂，y₂），
则∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 • k2+1

3k2+2

，
∴|DE|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

．
同理，MN=

4 3 [(- 1 k )2+1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 (1+k2)

2k2+3

∴四边形DMEN的面积S=

1

2

DE•MN=

1

2

•

4 3 (1+k2)

2+3k2

•

4 3 (1+ 1 k2 )

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

令u=k2+

1

k2

，得s=

24(2+u)

13+6u

=4-

4

13+6u

∵u=k2+

1

k2

≥2∴当k=±1时，u=2，S=

96

25

且S是以u为自变量的增函数，所以

96

25

≤S＜4
综上可知，四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为

96

25

点评：本题主要考查了曲线的轨迹方程的求解及直线与曲线的位置关系的求解，求解圆锥曲线的方程时的关键是灵活的应用椭圆的定义，而 处理直线与曲线的位置时的关键是要设直线方程，容易漏洞对斜率的存在的讨论